# 洛希極限

## 洛希極限的計算方法

${\displaystyle d=R\left(2\times \;{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}\approx 1.260R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}}$

${\displaystyle d\approx 2.423R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}}$

### 公式的導出

${\displaystyle F_{G}}$ 為衛星作用在${\displaystyle u}$ 上的引力，根據牛頓引力定律，${\displaystyle F_{G}={\frac {Gmu}{r^{2}}}}$

${\displaystyle d}$ 為衛星和行星中心的距離，${\displaystyle R}$ 為行星半徑，${\displaystyle F_{T}}$ 為行星作用在${\displaystyle u}$ 上的潮汐力，

${\displaystyle F_{T}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}$

${\displaystyle {\frac {Gmu}{r^{2}}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}$

${\displaystyle M=4\pi \rho _{M}R^{3}/3}$

${\displaystyle m=4\pi \rho _{m}r^{3}/3}$

${\displaystyle d=r\left({\frac {2\rho _{M}R^{3}}{\rho _{m}r^{3}}}\right)^{1/3}}$

${\displaystyle d=R\left(2\;{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}}$

### 流體的洛希極限公式

${\displaystyle d\approx 2.44R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}}$

${\displaystyle d\approx 2.423R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}\left({\frac {(1+{\frac {m}{3M}})+{\frac {c}{3R}}(1+{\frac {m}{M}})}{1-c/R}}\right)^{1/3}}$

${\displaystyle c/R}$ 是行星的扁度。